Pourquoi la file d’attente à côté de moi est-elle toujours plus rapide lorsque je fais la queue ?

Lorsque vous faites la queue, avez-vous l’impression que la file d’attente à côté de vous avance plus vite ?

L’un des exemples les plus célèbres de la loi de Murphy est « l’équipe à côté de vous est toujours plus rapide ».

Par exemple, lorsque nous achetons des choses dans un supermarché et choisissons une file d’attente pour payer, le caissier de notre file d’attente ne sera certainement pas aussi flexible que ceux des autres files d’attente ; si nous observons avant de faire la queue et évitons la file d'attente la plus lente, alors quelqu'un dans notre file d'attente se plaindra certainement du prix, ce qui ralentira toute la file d'attente, et ainsi de suite. À ce moment-là, il n'y a pas d'autre moyen que de compter sur la chance : lorsque nous faisons la queue, nous pouvons observer qui est au bout de chaque file pour voir qui sera le premier à payer.

Si la même situation se produit sur une autoroute, la réponse est complètement différente, comme l’ont expliqué Paul Krugman (économiste américain) et Steve Stroger (mathématicien américain) dans le New York Times il y a de nombreuses années. Voyons comment nous pouvons utiliser les mathématiques pour expliquer pourquoi notre voie se déplace plus lentement, et cela s’applique également à l’autre voie.

Est-ce impossible ? Non, c'est tout à fait possible en mathématiques.

Disons que nous sommes sur une autoroute à deux voies de 4 km de long. Il ne s’agit pas d’une véritable situation de file d’attente : la première moitié du trajet se fait à 10 km/h et la seconde moitié à 30 km/h. Pour faciliter le calcul, nous supposons que personne ne dépasse. (Je sais que c'est une hypothèse ridicule, après tout, le drift est le deuxième sport le plus populaire en Italie après le football, mais supposons-le.) Alors que se passe-t-il ?

Évidemment, les voitures sur les deux voies traverseront cette distance de 4 kilomètres en même temps, et tout le monde sait que ce n'est pas 12 minutes, donc cela peut être considéré comme un trajet complet à une vitesse de 20 kilomètres par heure. À une vitesse de 10 kilomètres par heure, il faut 6 minutes par kilomètre, et à une vitesse de 30 kilomètres par heure, il faut 2 minutes par kilomètre, donc le temps total est de 16 minutes.

Alors voyons ce qui se passe. Pendant ces 16 minutes, après avoir terminé les 4 minutes de course plus rapide, vous commencerez à vous demander dans les 12 minutes restantes : Pourquoi les autres conduisent plus vite que moi ? J'ai dessiné un schéma et vous pouvez voir que la même chose arrive au conducteur dans la voie d'à côté.

Mais il y a un résultat encore plus surprenant. Si la vitesse sur la voie adjacente est de 5 km/h lorsqu'elle est encombrée et de 20 km/h à d'autres moments, il est évident qu'il leur faudra plus de temps que vous pour parcourir la distance de 4 km. Mais selon l’analyse ci-dessus, vous vous plaindrez toujours du fait que les autres conduisent plus vite que vous.

En mathématiques, ce comportement est connu sous le nom de paradoxe de Redelmeier.

Pourquoi ce paradoxe ne se produit-il pas dans l’exemple de la file d’attente au supermarché ? Se pourrait-il que Murphy préfère le chariot de supermarché ?

Bien sûr que non. Dans l’exemple de conduite, nous avons supposé que la distance parcourue par la voiture était la même, nous pouvions donc contrôler l’espace. Mais lorsque nous faisons la queue au supermarché, cela devient insignifiant car nous ne nous intéressons pas à la distance à parcourir. Si nous changeons le facteur contrôlable du temps, augmentons la vitesse de la voiture pendant 20 % du temps total et ralentissons les 80 % restants du temps, alors ce paradoxe n'existera plus et la loi de Murphy recommencera à prévaloir. Nous pouvons comprendre ce qui se passe après des changements de voie soudains et des changements soudains dans l’ampleur de la décélération.

FIN

Texte : [italien] Maurizio Codogno

Figure : Illustrations tirées de « Parlons mathématiques autour d'un café », images Internet (supprimées en cas de violation)